a.)

Hallar la segunda Pareja de números amigos. Dos números naturales y son amigos si la suma de de los divisores de es igual a y la suma de de los divisores de es igual a Los pitagóricos descubren la primer pareja: 220 y 284. Fermat, descubre la segunda 17296 y 18416, además halla una regla general (conocida por ibn Qurra):

b.)

Método de Factorización de Fermat. Este método es encontrado en una carta aproximadamente en 1643, dirigida probablemente a Mersenne (1588-1648), un padre franciscano, filósofo y matemático, amigo de Descartes.

c.)

Pequeño Teorema de Fermat: si es un número natural cualquiera y un número primo que no es divisor de , entonces es divisor exacto de Por ejemplo es divisible por

d.)

Último Teorema de Fermat: las ecuaciones del tipo: para el entero no tiene solución, en el campo de los números enteros. Fermat supuestamente escribió en los márgenes del libro Arithmetica de Diofanto que había descubierto una maravillosa demostración de este teorema, pero que no le cabía en ese espacio. Falleció sin haber hecho pública nunca la solución. El 23 de junio de 1993, Andrew Wiles, presentó una demostración de este teorema, sin embargo, Nick Katz encontró en septiembre de ese año, que el trabajo de Wiles presentaba un error que invalidaba la demostración. Tras un año de esfuerzo, Wiles, el 25 de octubre de 1994, presentó en dos manuscritos - unas 130 páginas en total - la demostración de dicho teorema.