| El melocotón y las series infinitas |
|
| viernes, 26 de septiembre de 2008 | |||
|
Antes de ver algo relacionado sobre la convergencia o divergencia de algunas series infinitas me voy a comer un melocotón que no este muy maduro.
Hago un corte mas o menos por la mitad...
Y giro las dos partes en sentido contrario...
Al separarlas se queda algo así
Ahora en la parte que tiene el hueso hago también otro corte por la mitad.
Y vuelvo a hacer el mismo movimiento sobre las dos partes, girándolas en sentido contrario.
Y las separo
Ahora hago otro corte del trozo que tiene el hueso por la mitad y las separo de nuevo.
Otro corte y separo.
No sigas haciendo cortes o llegaras a tener entres las manos puré de melocotón y separa simplemente el hueso. Como ves se queda complemante limpio y separado de los trozos del melocotón.
Bien, si antes de separar el hueso hubieramos seguido haciendo cortes por la mitad del trozo con el hueso, un número infinito de veces ( lo indicamos por los 3 puntos). ¿Esa suma infinita de trozos tendrá como resultado ∞?
Si ocurre esto, en matemáticas se diria que la serie es divergente. O por el contrario, ¿Esa suma infinita de trozos tendrá como resultado un valor finito (que no conozco aún)?
Si ocurre esto, en matemáticas se diria que la serie es convergente. Pues no tengo ni idea.... No pasa nada Si partimos un melocotón en infinitos trozos, y sin tener ni idea de matemáticas ¿La suma total de todos esos trozos de melocotón puede ser infinito?. ¿El total de esa suma no será como mucho TODO el melocotón y por lo tanto finita? Luego la serie tiene que ser... ¿CONVERGENTE? Sí, muy bien!! ¿Pero hacia que valor converge? Pues no lo se, pero puedo buscar por internet algo sobre convergencia de series. He encontrado esto,
A esta serie se llama serie geométrica de razón z=1/2. Como z < 1 la serie converge a este valor.
Sustituimos en la fórmula el valor de z=1/2.
Pero lo que buscamos es
Luego
O lo que es lo mismo
O también
Intuitivamente, el resultado de la convergencia de esta suma infinita podría parecerte muy sencillo pero no siempre es así. Si ahora partimos el melocotón ... Sabrías decir a que valor converge esta nueva serie, utilizando como hicimos antes, el valor al que converge la siguiente serie geométrica.
Sólo tienes que sustituir el valor de la razón, z=1/3, en la segunda ecuación.
Y para terminar, vamos a ver si converge la siguiente serie, la serie armónica
Su nombre viene porque la longitud de onda de los sobretonos de una cuerda que vibra es proporcional a 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7... ¿Crees que la serie armónica es
Y ahora...
... si me puedo comer el melocotón.
Me voy ahora a hacer un poco de footing con una vieja amiga a ver si la alcanzo y puedo resolver un pequeño problema que llevo varios años sin resolver...
Sólo los usuarios registrados pueden escribir comentarios. Powered by AkoComment 2.0! |
|||
| Modificado el ( domingo, 28 de septiembre de 2008 ) | |||
, si en este momento no sabemos la respuesta es que no entendemos bien la pregunta y nos estamos perdiendo en términos que no son habituales para nosotros (convergencia, divergencia, infinito...).
